L'esperienza di Eratostene e la determinazione delle dimensioni della terra (considerata come sferica)

Sul modello di terra sferica possiamo dire che la terra misura circa 40.000 km e il primo che riuscì a scoprirlo fu Eratostene di Micene, lui abitava ad Alessandria d'Egitto e si era spinto in uno dei suoi viaggi fino alla città di Siene, l’attuale Assuan, che si trova sostanzialmente sul tropico del cancro, aveva osservato che il 21 di giugno, cioè al solstizio d'estate, alle ore 12 nelle due città di Siene e Alessandria d’Egitto i raggi solari non avevano la stessa altezza. In particolare a Siene, che si trova sul tropico del cancro e quindi a una latitudine di 23°27’ nord il 21 giugno di oggetti non proiettavano ombra e non solo era anche possibile vedere sul fondo dei pozzi proiettato il disco solare, questo stava a significare che in quel determinato giorno e in quel luogo i raggi solari arrivavano perpendicolari al piano dell'orizzonte apparente, cosa che non si verificava ad Alessandria d'Egitto.

Partendo da questi presupposti Eratostene riuscì a misurare le dimensioni della terra con da questa dimostrazione:

Partendo dal presupposto che l'angolo formato dalla verticale di Siene e la verticale di Alessandria è uguale ad α, si deduce che l'angolo formato dalla verticale di Alessandria e i raggi solari è un angolo uguale ad α perché corrispondenti. Saputo questo e conosciuta la distanza tra Alessandria e Siene che misurava 5000 stadi (1 stadio= 160m) (presupponendo però che le due città si trovassero sullo stesso meridiano, anche se non è proprio vero) e conosciuta anche l'ampiezza dell'angolo α, che era circa un cinquantesimo dell’angolo giro, Eratostene poté determinare le dimensioni della terra.

In  particolare l'ampiezza dell'angolo α era stata determinata da Eratostene grazie a uno strumento chiamato scafe, il quale era formato da una scodella con al centro uno gnomone che consentiva di valutare rispetto a una scala goniometrica presente sul fondo della scodella l'altezza dei raggi solari. In realtà questo si può determinare anche piantando un bastoncino per terra.

Grazie a questi dati il poté determinare la circonferenza della terra e il raggio:

AS : α = 2πr : 360°

da ciò ne consegue

2πr = [(AS x 360°)/(α)] e di conseguenza per trovare il raggio

r = [(AS x 360°)/(2πα)]

Con questa procedura riuscì a determinare la circonferenza della terra che risultò essere circa 2050 mila stadi e quindi circa 40.000 km, nonostante tutti gli errori.

Per calcolare l'arco alfa bisogna procurarsi un bastoncino perfettamente diritto, che chiamiamo AO, e piantarlo per terra, il bastoncino quindi a causa dei raggi solari proietterà un'ombra che è poi il segmento OT. L’angolo formato dall'inclinazione dei raggi solari corrisponde all'altezza, che viene chiamata β, mentre l’angolo α è lo stesso della dimostrazione precedente. Per trovare quindi α si procede in questo modo:

tgα = OT/OA, e una volta determinato tgα facciamo l’arco tg e troviamo α.